Variables aléatoires, loi de Bernoulli et intégrale
Définir une variable aléatoire discrète, sa loi de probabilité et son espérance. Reconnaître une situation de Bernoulli. Première approche de l'intégrale comme aire sous la courbe pour les fonctions affines et polynômes du 2nd degré.
- →Définir une variable aléatoire X et sa loi de probabilité
- →Calculer l'espérance E(X)
- →Reconnaître une épreuve de Bernoulli
- →Calculer la probabilité d'une réunion ou intersection d'événements
- →Définir l'intégrale comme aire sous la courbe
01Variables aléatoires discrètes
Variable aléatoire.Une variable aléatoire X est une fonction qui, à chaque issue d'une expérience aléatoire, associe un nombreRéponse : nombre. X = nombre de piles obtenus en 3 lancers, X = gain à un jeu, etc.
Loi de probabilité.La loi de probabilité de X liste toutes les valeurs possibles xᵢ et leurs probabilités P(X = xᵢ). On vérifie que Σ P(X = xᵢ) = 1Réponse : Σ P(X = xᵢ) = 1.
L'espérance de X est la moyenne pondérée : . Si X est un gain, E(X) est le gain moyenà long terme. Réponse : moyen.
Une tombola : 1 lot à 50 €, 4 lots à 10 €, sinon 0 € (100 billets). X = gain. P(50) = 1/100 ; P(10) = 4/100 ; P(0) = 95/100. E(X) = 50·0,01 + 10·0,04 + 0 = 0,90,5 + 0,4. Réponse : 0,9 € par billet.
02Épreuve de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli.Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deuxsuccès / échec. Réponse : deux issues : « succès » (probabilité p) et « échec » (probabilité 1 − p). La variable aléatoire associée prend les valeurs 1 (succès) et 0 (échec).
Un test de dépistage avec 95 % de sensibilité chez les malades est une épreuve de Bernoulli avec p = 0,95Réponse : 0,95.
L'étude de la loi binomiale (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) n'est pas un attendu du programme. On se limite ici à comprendre une épreuve unique et à calculer P(X = a), P(X ≤ a), P(X ≥ a).
Choisis une probabilité p et un nombre d'épreuves n. Lance la simulation. Observe que la fréquence observée se rapproche de p quand n augmente (loi des grands nombres). L'histogramme montre les fréquences successives par lots de 10 épreuves.
03Intégrale comme aire sous la courbe
Intégrale d'une fonction positive.Pour une fonction f positive sur [a ; b], est l'aire sous la courbe entre les abscisses aRéponse : a et bRéponse : b, en unités d'aire.
Pour une fonction affine sur [a ; b] : l'aire est celle d'un trapèze, calculable directement. Pour un polynôme degré 2 : calcul explicite avec primitive, ou à la calculatrice. Pour les autres : usage de la calculatrice.
Pour f(x) = 2x + 1 sur [0 ; 5] : aire d'un trapèze de bases 1 (à x=0) et 11 (à x=5), hauteur 5. Aire = (1+11)·5/2 = 30unités d'aire. Réponse : 30.
Exercices
Exercice 1— Loi d'un dé pipéOuvrir
Un dé est tel que P(6) = 0,3 et les autres faces sont équiprobables. 1) Donner la loi de la variable X = numéro obtenu. 2) Calculer E(X).
✓ Correction
1) P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = (1 − 0,3)/5 = 0,14. P(6) = 0,3. 2) E(X) = 0,14·(1+2+3+4+5) + 0,3·6 = 0,14·15 + 1,8 = 2,1 + 1,8 = 3,9 (contre 3,5 pour un dé équilibré).
Exercice 2— Aire sous une courbe affineOuvrir
Soit f(x) = 3x + 2. Calculer l'intégrale de f entre 1 et 4 (en u.a.).
✓ Correction
Trapèze de bases f(1) = 5 et f(4) = 14, hauteur (largeur) = 3. Aire = (5+14)·3/2 = 28,5 u.a..