Tᵉ Bac SAPAT•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 1

Suites arithmétiques et géométriques

Reconnaître une suite arithmétique (raison +) ou géométrique (raison ×). Calculer un terme à partir du précédent ou directement. Mobiliser ces outils pour modéliser une évolution démographique, un capital placé ou un dosage médicamenteux. Module MG1 — capacité C1.3, savoir « modèles discrets de suites ».

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Distinguer une suite arithmétique (raison r) d'une suite géométrique (raison q)
→Calculer un terme par récurrence : un+1 = un + r ou un+1 = un × q
→Calculer un terme directement : un = u₀ + n·r ou un = u₀ × qⁿ
→Reconnaître une situation d'évolution linéaire vs exponentielle
→Représenter graphiquement les premiers termes

01Suite arithmétique

Définition

Suite arithmétique.Une suite (uₙ) est arithmétiqueRéponse : arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé raisonRéponse : raison. On a : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

Propriété — Terme général

Si u₀ est le premier terme et r la raison, alors pour tout n : $u_{n} = u_{0} + n \times r$ .

Exemple

Une mutuelle augmente ses cotisations annuelles de 4 € chaque année à partir de 280 € la première année. (uₙ) est arithmétique de raison 4Réponse : 4 et u₀ = 280. Au bout de 10 ans : u₁₀ = 280 + 10 × 4 = 320Réponse : 320 €.

02Suite géométrique

Définition

Suite géométrique.Une suite (uₙ) est géométriqueRéponse : géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q appelé raison. $u_{n + 1} = u_{n} \times q$ .

Propriété — Terme général

Pour tout n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ . Une évolution de t % par période correspond à une suite géométrique de raison q = $1 + \frac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \frac{t}{100}$ (baisse).

Exemple

Une maison de retraite voit son nombre de résidents augmenter de 3 % par an. Avec u₀ = 80 résidents : (uₙ) est géométrique de raison q = 1,03Réponse : 1,03. u₅ = 80 × 1,03⁵ ≈ 92,7calculatrice. Réponse : 92,7 résidents.

QCM

Une dose médicamenteuse présente dans le sang diminue de 30 % toutes les 6 h. Cette évolution est :

03Comparaison et identification

	Arithmétique	Géométrique
Passage d'un terme à l'autre	+ raison r	× raison qRéponse : × raison q
Type d'évolution	linéairedroite. Réponse : linéaire	exponentielle
Représentation graphique	points alignés	courbenon alignée. Réponse : courbe
Exemple	loyer + 30 €/an	+ 2 % par an

Saisie libre

La population d'une commune était de 4 200 habitants en 2020 et a augmenté de 1,5 % par an. Quelle est la population estimée en 2025 ? (arrondir à l'entier)

Capacité visée — extrait du référentiel

Cette notion est nouvelle pour les élèves. Il convient de l'aborder en première année et de la travailler dans la durée, sur les deux années du cycle, pour que les élèves puissent se l'approprier et l'exploiter dans différents contextes comme la dynamique des populations, l'évolution de paramètres climatiques… Suites arithmétiques et géométriques : définition par la relation de récurrence et la donnée du premier terme ; expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison ; calcul de la somme des n premiers termes (la connaissance de la formule n'est pas un attendu).

— Document d'accompagnement MG1 — Bac Pro tronc commun — Capacité C1.3 — Savoir « Modèles discrets de suites arithmétiques et géométriques »

Exercices

Exercice 1— Évolution d'un loyer

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Un loyer initial de 540 €/mois augmente chaque année de 12 €. 1) Quelle est la nature de la suite (uₙ) des loyers (uₙ : loyer après n années) ? 2) Calculer u₅. 3) Dans combien d'années le loyer dépassera-t-il 700 € ?

✓ Correction

1) Suite arithmétique de raison r = 12, u₀ = 540. 2) u₅ = 540 + 5 × 12 = 600 €. 3) 540 + 12 n > 700 ⇒ n > 13,3 → à partir de la 14ᵉ année.

Exercice 2— Demi-vie d'un médicament

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Un médicament administré à dose 200 mg voit sa concentration sanguine divisée par 2 toutes les 4 h. 1) Quelle est la nature et la raison de la suite ? 2) Calculer la concentration au bout de 12 h. 3) Au bout de combien d'heures la concentration passera-t-elle sous 25 mg ?

✓ Correction

1) Suite géométrique de raison q = 0,5 ; u₀ = 200. 2) u₃ = 200 × 0,5³ = 25 mg. 3) 25 mg correspond exactement à u₃ ⇒ 12 h (juste à la limite).

Exercice 3— Comparer deux placements

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Deux placements de 5 000 € sur 10 ans : Placement A : intérêts simples, +180 € chaque année. Placement B : intérêts composés, +3,2 % par an. 1) Donner la nature de chaque suite. 2) Calculer u₁₀ pour chacun. 3) Quel placement choisir ?

✓ Correction

1) A est arithmétique (r = 180) ; B est géométrique (q = 1,032). 2) A : u₁₀ = 5 000 + 10 × 180 = 6 800 €. B : u₁₀ = 5 000 × 1,032¹⁰ ≈ 6 855 €. 3) B est légèrement plus avantageux sur 10 ans (et l'écart se creuse au-delà : c'est l'effet des intérêts composés).