Tᵉ Bac SAPAT•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 4

Fonctions exponentielles et logarithmes

Modéliser un phénomène de croissance ou de décroissance par une fonction exponentielle. Définir la fonction logarithme décimal et népérien. Résoudre des équations type qˣ = a et log(x) = b dans des contextes sanitaires et démographiques.

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Définir une fonction exponentielle de base q (q > 0)
→Reconnaître une décroissance/croissance exponentielle
→Définir log et ln, connaître leurs propriétés opératoires
→Résoudre qˣ = a (par log) et log(x) = a (par exp)
→Mobiliser ces fonctions dans des contextes santé / population

01Fonctions exponentielles de base q

Définition

Fonction exponentielle de base q.Pour q > 0, la fonction définie par $f (x) = q^{x}$ s'appelle la fonction exponentielle de base q. Elle prolonge la suite géométrique de premier terme 1Réponse : 1 et de raison q.

Propriété — Variations

Si q > 1, la fonction est croissanteRéponse : croissante (croissance exponentielle). Si 0 < q < 1, elle est décroissanteRéponse : décroissante (décroissance exponentielle). Si q = 1, elle est constante.

Exemple

Une population augmente de 2,5 % par an : modélisée par f(t) = 1,025^t (× population initiale). Avec q = 1,025 > 1 → croissance. Une dose médicamenteuse divisée par deux toutes les heures : f(t) = 0,5^t → décroissance car q = 0,5Réponse : 0,5 < 1.

02Logarithme décimal et népérien

Définition

Logarithme décimal.Le logarithme décimal de x (noté log(x)) est défini pour x > 0. Il vérifie : $lo g (1 0^{n}) = n$ . C'est la fonction réciproqueinverse. Réponse : réciproque de x ↦ 10^x.

Définition

Logarithme népérien.Le logarithme népérien de x (noté ln(x)) est défini pour x > 0. Il vérifie : $ln (e^{x}) = x$ , avec e ≈ 2,72constante d'Euler. Réponse : 2,72. C'est la réciproque de x ↦ eˣ.

Propriété — Propriétés opératoires

$lo g (a \times b) = lo g (a) + lo g (b)$ — $lo g (a^{n}) = n lo g (a)$ . Mêmes propriétés pour ln.

Méthode — Résoudre qˣ = a

1Prendre le log (ou ln) des deux côtés : log(qˣ) = log(a).
2Utiliser la propriété : x · log(q) = log(a).
3Isoler x : $x = \frac{lo g ( a )}{lo g ( q )}$ .

Exemple

Combien de temps faut-il pour qu'une population croissant de 3 %/an double ? On résout 1,03^t = 2 → t = log(2)/log(1,03) ≈ 23,4calculatrice. Réponse : 23,4 ans.

Saisie libre

Résoudre 0,75ˣ = 0,5 (à 0,1 près).

03Application : demi-vie et dépistage

La demi-vie d'un médicament est le temps au bout duquel sa concentration sanguine est divisée par deux. Si on modélise la décroissance par f(t) = c₀ × 0,5^(t/T), où T est la demi-vie, alors après n demi-vies il reste $c_{0} \times 0, 5^{n}$ .

QCM

Le pH est défini comme pH = −log([H₃O⁺]). Si la concentration en H₃O⁺ est multipliée par 10, le pH :

Exercices

Exercice 1— Demi-vie d'un médicament

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Un antibiotique a une demi-vie de 6 h. À t = 0, la concentration sanguine est de 80 mg/L. 1) Donner la concentration après 12 h, après 24 h. 2) Au bout de combien d'heures la concentration passe-t-elle sous 5 mg/L ?

✓ Correction

1) Après 12 h = 2 demi-vies : 80 × 0,5² = 20 mg/L. Après 24 h = 4 demi-vies : 80 × 0,5⁴ = 5 mg/L. 2) f(t) = 80 × 0,5^(t/6) = 5 ⇔ 0,5^(t/6) = 1/16 = 0,5⁴ ⇔ t/6 = 4 → t = 24 h.

Exercice 2— Population vieillissante

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Le nombre de personnes âgées dépendantes en France croît d'environ 2,2 % par an. En 2024, il était de 1,3 million. 1) Modéliser par une fonction exponentielle f(t), avec t = nombre d'années écoulées depuis 2024. 2) Calculer f(10). 3) En quelle année dépassera-t-il 2 millions ?

💡 Indice

f(t) = 1,3 × 1,022^t (en millions). Pour la question 3, résoudre 1,3 × 1,022^t = 2.

✓ Correction

1) f(t) = 1,3 × 1,022^t. 2) f(10) = 1,3 × 1,022¹⁰ ≈ 1,3 × 1,243 ≈ 1,62 million. 3) 1,3 × 1,022^t = 2 ⇔ 1,022^t = 1,538 ⇔ t = log(1,538)/log(1,022) ≈ 19,8 → année 2044.