Tᵉ Bac SAPAT•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 2

Dérivation et étude de fonctions polynômes

Introduire la notion de dérivée comme coefficient directeur de la tangente. Dériver les fonctions polynômes de degré ≤ 3 et la fonction inverse. Dresser un tableau de variations.

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Définir le nombre dérivé f'(a) comme coefficient directeur de la tangente
→Connaître les dérivées de référence (xⁿ, 1/x, etc.)
→Dériver une somme et un produit par un réel
→Lier signe de f' et variations de f
→Dresser un tableau de variations

01Nombre dérivé et tangente

Définition

Nombre dérivé.Le nombre dérivé de f en a, noté $f^{'} (a)$ , est le coefficient directeurRéponse : directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.

Propriété — Équation de la tangente

La tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)) a pour équation : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

02Dérivées de référence et opérations

f(x)	f'(x)
k (constante)	0Réponse : 0
x	1
x²	2xRéponse : 2x
x³	3x²
1/x (x ≠ 0)	$- 1/ x^{2}$
k · f(x)	k · f'(x)
f + g	f' + g'

Exemple

Soit f(x) = 2x³ − 5x + 4. Alors f'(x) = 6x² − 5Réponse : − 5.

Saisie libre

Soit f(x) = −x² + 4x + 1. Calculer f'(3).

03Sens de variation

Propriété — Lien signe(f') ↔ variations(f)

Sur un intervalle I : si f'(x) > 0 sur I, alors f est croissanteRéponse : croissante sur I. Si f'(x) < 0, alors f est décroissanteRéponse : décroissante. Si f'(x) = 0, alors f admet un extremum (max ou min) ou un palier.

Méthode — Dresser un tableau de variations

1Calculer f'(x).
2Étudier le signe de f'(x) (résolution f'(x) = 0, signe par produit ou tableau).
3Dresser le tableau avec x, signe de f', sens de variation et valeurs aux points clés.

Exercices

Exercice 1— Étude d'une fonction

Ouvrir

Soit f(x) = x² − 4x + 5 sur [0 ; 5]. 1) Calculer f'(x). 2) Résoudre f'(x) = 0. 3) Dresser le tableau de variations.

✓ Correction

1) f'(x) = 2x − 4. 2) f'(x) = 0 ⇒ x = 2. 3) f' < 0 sur [0;2] (décroissante), f' > 0 sur [2;5] (croissante). Minimum en x = 2 : f(2) = 1.

Exercice 2— Coût moyen (fonction inverse)

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Le coût moyen d'une intervention est modélisé par C(x) = 50 + 200/x où x est le nombre d'interventions par jour. 1) Calculer C'(x). 2) En déduire le sens de variation de C sur ]0 ; +∞[. Interpréter.

✓ Correction

1) C'(x) = −200/x². 2) C'(x) < 0 sur ]0 ; +∞[ → C est strictement décroissante. Plus on multiplie les interventions par jour, plus le coût moyen baisse (les coûts fixes sont mieux répartis).