Tᵉ Bac AP•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 5

Variables aléatoires et intégrale comme aire

Définir une variable aléatoire discrète et son espérance. Reconnaître une épreuve de Bernoulli (taux de reprise d'un végétal). Approche de l'intégrale comme aire sous la courbe (calcul d'une intégrale affine = aire d'un trapèze).

Durée

4 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Définir une variable aléatoire discrète X
→Construire sa loi de probabilité et calculer son espérance
→Reconnaître une situation modélisée par une loi de Bernoulli
→Définir l'intégrale comme aire sous la courbe
→Calculer une intégrale pour une fonction affine ou polynôme ≤ 2

01Variables aléatoires discrètes

Définition

Variable aléatoire X.X est une fonction qui, à chaque issue d'une expérience aléatoire, associe un nombreRéponse : nombre. On note P(X = xᵢ) la probabilité que X prenne la valeur xᵢ.

Propriété — Loi de X et espérance

Loi : tableau associant à chaque xᵢ sa probabilité ; Σ P(X = xᵢ) = 1. Espérance : $E (X) = \sum x_{i} \cdot P (X = x_{i})$ — c'est la moyenne pondéréeRéponse : pondérée des valeurs.

Exemple

Sur 50 plants vendus, X = nombre de plants qui reprennent. Si le taux de reprise moyen est 84 %, E(X) = 50 × 0,84 = 42Réponse : 42 plants.

02Épreuve de Bernoulli

Définition

Épreuve de Bernoulli.Expérience à deuxRéponse : deux issues : succès (probabilité p) et échec (probabilité 1 − p). Exemple : la reprise d'un plant, la germination d'une graine, etc.

L'étude de la loi binomiale (répétition d'épreuves de Bernoulli) n'est pas un attendu du programme. On se limite à une épreuve unique.

03Intégrale comme aire

Définition

Intégrale d'une fonction positive.Pour f ≥ 0 sur [a ; b] : $\int_{a}^{b} f (x) d x$ est l'aire sous la courbe entre x = a et x = b (en unités d'aire).

Méthode — Calculer une intégrale (cas simples)

1Pour une fonction affine : aire d'un trapèze (ou triangle, ou rectangle).
2Pour une fonction polynôme ≤ 2 : calculer une primitive et appliquer F(b) − F(a).
3Pour les autres fonctions : usage de la calculatrice (intégrale numérique).

Exemple

Aire sous f(x) = 4 − x sur [0 ; 4] : c'est l'aire d'un triangle de base 4 et hauteur 4, donc 8Réponse : 8 u.a.

Saisie libre

X a pour loi : P(X=0) = 0,3 ; P(X=1) = 0,5 ; P(X=2) = 0,2. Calculer E(X).

Exercices

Exercice 1— Gain à un tirage

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Une jardinerie organise un tirage. Mise : 2 € par billet. Gains possibles : 50 € (probabilité 1/100), 10 € (5/100), 0 € sinon. Soit X = gain net (en €). 1) Donner la loi de X. 2) Calculer E(X). 3) Le jeu est-il favorable au joueur ?

✓ Correction

1) X prend les valeurs 48 (gain net 50−2), 8 (gain 10−2), −2 (perte de la mise). P(48) = 0,01 ; P(8) = 0,05 ; P(−2) = 0,94. 2) E(X) = 48·0,01 + 8·0,05 + (−2)·0,94 = 0,48 + 0,4 − 1,88 = −1 €. 3) Non, espérance négative : le joueur perd en moyenne 1 € par billet.

Exercice 2— Intégrale d'un polynôme

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Soit f(x) = 2x + 3 sur [1 ; 5]. Calculer l'intégrale (aire d'un trapèze).

✓ Correction

f(1) = 5, f(5) = 13. Trapèze de bases 5 et 13, hauteur 4 (5−1). Aire = (5+13)·4/2 = 36 u.a..