Tᵉ Bac AP•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 1

Suites arithmétiques et géométriques — croissance végétale

Modéliser une évolution discrète par une suite arithmétique (raison +) ou géométrique (raison ×). Mobiliser pour la croissance d'un végétal, l'amortissement d'un équipement, ou la propagation d'une population.

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Distinguer suite arithmétique (raison r) et géométrique (raison q)
→Calculer un terme par récurrence et par formule directe
→Représenter graphiquement les premiers termes (n ; uₙ)
→Modéliser une évolution paysagère (croissance d'arbre, dégradation, amortissement)
→Préparer à l'épreuve E1 (ECCF 1.3)

01Suite arithmétique : ajout constant

Définition

Suite arithmétique.Une suite (uₙ) est arithmétiqueRéponse : arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé raison. $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

Propriété — Terme général

Si u₀ est le premier terme et r la raison : $u_{n} = u_{0} + n \times r$ .

Exemple

Une haie de buis croît de 8 cm par an. Au moment de la plantation, hauteur = 60 cm. (uₙ) est arithmétique de raison r = 8Réponse : 8 et u₀ = 60. Au bout de 5 ans : u₅ = 60 + 5 × 8 = 100Réponse : 100 cm.

02Suite géométrique : multiplication constante

Définition

Suite géométrique.Une suite (uₙ) est géométriqueRéponse : géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q : $u_{n + 1} = u_{n} \times q$ .

Propriété — Terme général

Pour tout n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ . Une évolution de t % par période correspond à une suite géométrique de raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ .

Exemple

Une pépinière voit la valeur d'un stock d'arbres se déprécier de 12 % par an (amortissement). Valeur initiale 8 000 €. (uₙ) géométrique avec q = 0,881 - 0,12. Réponse : 0,88. Au bout de 4 ans : u₄ = 8 000 × 0,88⁴ ≈ 4 798à l'euro près. Réponse : 4 798 €.

QCM

Un arbre voit sa hauteur multipliée par 1,15 chaque année. Cette suite est :

03Représentation graphique et comparaison

	Arithmétique	Géométrique
Passage à un terme suivant	+ raison r	× raison q
Évolution	linéaireRéponse : linéaire	exponentielle
Représentation graphique (n ; uₙ)	points alignés	courbe (croissance/décroissance)
Exemple	+ 8 cm/an	× 1,15 par an

Méthode — Reconnaître la nature d'une suite

1Calculer u₁ − u₀ puis u₂ − u₁. Si ces différences sont égales → arithmétique.
2Sinon calculer u₁ / u₀ puis u₂ / u₁. Si ces quotients sont égaux → géométrique.
3Sinon : ni l'une ni l'autre.

Saisie libre

Une population (uₙ) est définie par u₀ = 1 200 et uₙ₊₁ = 1,04 · uₙ. Calculer u₁₀ (à l'unité près).

Exercices

Exercice 1— Croissance d'un cèdre

Ouvrir

Un jeune cèdre est planté à 80 cm. Il gagne 30 cm par an. 1) Donner uₙ (hauteur au bout de n années). 2) Calculer u₁₀. 3) Au bout de combien d'années dépasse-t-il 4 m ?

✓ Correction

1) Arithmétique de raison 30 : uₙ = 80 + 30 n. 2) u₁₀ = 380 cm. 3) 80 + 30 n > 400 ⇒ n > 10,67 → à partir de la 11ᵉ année.

Exercice 2— Bouturage — propagation

Ouvrir

Une jardinerie produit 200 boutures de lavande la première année. Le nombre augmente de 25 % par an grâce au bouturage récursif. 1) Nature de la suite ? Valeur de q ? 2) Calculer u₅. 3) En quelle année dépassera-t-elle 1 000 boutures ?

💡 Indice

Pour la question 3, utiliser le log : 200 × 1,25^t > 1 000.

✓ Correction

1) Géométrique, q = 1,25. 2) u₅ = 200 × 1,25⁵ ≈ 610 boutures. 3) 200 × 1,25^t > 1 000 ⇔ 1,25^t > 5 ⇔ t > log(5)/log(1,25) ≈ 7,2 → à partir de la 8ᵉ année.