Fonctions exponentielles et logarithmes
Modéliser la croissance d'un végétal, la dégradation d'un produit phytosanitaire ou l'évolution d'une population par une fonction exponentielle. Utiliser le logarithme pour résoudre des équations exponentielles.
- →Définir une fonction exponentielle de base q
- →Reconnaître croissance/décroissance exponentielle
- →Définir log et ln, connaître leurs propriétés
- →Résoudre qˣ = a
- →Mobiliser en contexte paysager (croissance, dégradation, pH du sol)
01Fonction exponentielle de base q
Fonction exponentielle.Pour q > 0, est la fonction exponentielle de base q. Elle prolonge la suite géométrique de raison q.
Si q > 1, f est croissanteRéponse : croissante. Si 0 < q < 1, f est décroissanteRéponse : décroissante.
Une plante de pépinière croît de 3 % par mois : f(t) = 1,03^t × hauteur initiale. Une concentration de produit phytosanitaire dans le sol diminue de 15 % par mois : f(t) = 0,85^t1 - 0,15. Réponse : 0,85^t × concentration initiale.
02Logarithmes
Logarithme décimal.log(x) (x > 0) est la fonction réciproque de x ↦ 10^xRéponse : 10^x. Donc log(10^n) = n.
Logarithme népérien.ln(x) est la fonction réciproque de x ↦ eˣ avec e ≈ 2,718. ln(eˣ) = x.
log(a · b) = log(a) + log(b) ; log(aⁿ) = n · log(a).
- 1Prendre log des deux côtés : x · log(q) = log(a).
- 2Diviser : .
03Application au paysage
Exercices
Exercice 1— Dégradation d'un produit dans le solOuvrir
Un produit phytosanitaire se dégrade de 18 % par mois. Concentration initiale 100 mg/kg. 1) Modéliser par f(t). 2) Concentration au bout de 6 mois ? 3) Combien de mois pour passer sous 1 mg/kg ?
✓ Correction
1) f(t) = 100 × 0,82^t. 2) f(6) = 100 × 0,82⁶ ≈ 30,4 mg/kg. 3) 100 × 0,82^t < 1 ⇒ 0,82^t < 0,01 ⇒ t > log(0,01)/log(0,82) ≈ 23,2 → 24 mois (2 ans).
Exercice 2— pH d'un sol acidifiéOuvrir
Pour 1 m³ de sol à pH 7, on apporte 100 g de soufre élémentaire. Chaque apport divise la concentration [H₃O⁺] par 0,5 (échelle log). 1) Quel pH après un apport ? 2) Après deux apports ?
✓ Correction
Diviser [H₃O⁺] par 0,5 = multiplier par 2 (car ½ = 2⁻¹). Donc pH = −log(2·c) = −log(2) − log(c) = pH initial − log(2). 1) Nouveau pH = 7 − 0,30 ≈ 6,7. 2) Après 2 apports : 7 − 2·0,30 ≈ 6,4.