Tᵉ Bac AP•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 2

Dérivation, fonction inverse et racine carrée

Introduire la notion de dérivée comme outil d'étude des variations. Dériver les fonctions polynômes ≤ 3, inverse et racine. Étudier le coût moyen d'un chantier, optimiser un dosage.

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Définir le nombre dérivé comme pente de la tangente
→Connaître les dérivées de référence (xⁿ, 1/x, √x)
→Dériver une somme et une fonction multipliée par une constante
→Lier signe de f' et variations de f, dresser un tableau de variations
→Optimiser une quantité (coût, surface, volume)

01Nombre dérivé et tangente

Définition

Nombre dérivé f'(a).Le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangenteRéponse : tangente à la courbe au point d'abscisse a. C'est aussi la limite du taux d'accroissement de f en a.

Propriété — Dérivées de référence

Pour les fonctions classiques : (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹exposant descend. Réponse : n · xⁿ⁻¹ ; (1/x)' = −1/x² ; $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ pour x > 0.

02Sens de variation et tableau

Propriété — Lien f' ↔ variations de f

Si f'(x) > 0 sur I → f croissante. Si f'(x) < 0 → f décroissante. Annulation et changement de signe de f' → extremumRéponse : extremum local.

Exemple

Soit f(x) = x³ − 3x sur [−2 ; 2]. f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1). f'(x) = 0 ⇒ x = ±1Réponse : ±1. Tableau : f croissante sur [−2;−1], décroissante sur [−1;1], croissante sur [1;2]. Maximum local en x = −1, minimum local en x = 1.

Saisie libre

Soit f(x) = √x. Calculer f'(4).

03Application : optimiser un chantier

Méthode — Recherche d'optimum

1Modéliser la quantité à optimiser par f(x) (coût, surface, volume).
2Calculer f'(x) et résoudre f'(x) = 0.
3Étudier le signe de f' autour de la solution → maximum ou minimum.
4Vérifier que la solution a un sens dans le contexte (positif, dans l'intervalle).

QCM

Pour optimiser un coût C(x) en fonction de la quantité x, on cherche x tel que :

Exercices

Exercice 1— Coût moyen d'un chantier paysager

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Le coût moyen d'un chantier (en €/m²) est C(x) = 12 + 800/x, où x est la surface en m². 1) Calculer C'(x). 2) Que peut-on dire de C ? 3) Calculer C(20) et C(100).

✓ Correction

1) C'(x) = −800/x². 2) C'(x) < 0 pour x > 0 → C strictement décroissante : plus la surface est grande, plus le coût au m² diminue. 3) C(20) = 12 + 40 = 52 €/m². C(100) = 12 + 8 = 20 €/m².

Exercice 2— Optimisation d'un enclos

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Avec 80 m de grillage, on délimite un enclos rectangulaire. 1) Si L est la longueur et ℓ la largeur, exprimer ℓ en fonction de L. 2) Exprimer la surface S en fonction de L. 3) Pour quelle valeur de L la surface est-elle maximale ?

✓ Correction

1) 2(L+ℓ) = 80 → ℓ = 40 − L. 2) S(L) = L(40 − L) = 40L − L². 3) S'(L) = 40 − 2L = 0 ⇒ L = 20. S(20) = 400 m². Soit un carré 20 × 20 m.