Aires et volumes des figures usuelles
Calculer les aires des figures planes (rectangle, carré, triangle, disque, parallélogramme, trapèze) et les volumes des solides usuels (cube, pavé, cylindre, cône, pyramide, sphère). Maîtriser les conversions d'unités (m²↔cm², m³↔L). Mobiliser sur des situations agricoles : surface d'une parcelle, volume d'un silo, contenance d'une cuve.
- →Calculer l'aire des figures usuelles (rectangle, triangle, disque)
- →Calculer le volume d'un cube, pavé, cylindre, cône, pyramide, sphère
- →Convertir entre unités d'aire (m², cm², ha, a)
- →Convertir entre unités de volume (m³, L, mL)
- →Mobiliser sur des problèmes agricoles concrets
01Aires des figures planes
| Figure | Formule de l'aire | Exemple agricole |
|---|---|---|
| Rectangle | A = L × l | Parcelle rectangulaire |
| Carré | A = c² | Carré de jardinage 4 m |
| Triangle | A = (b × h) / 2Réponse : A = (b × h) / 2 | Toit en pignon |
| Disque | A = π × r² | Bassin circulaire |
| Parallélogramme | A = b × h | Parcelle en biais |
| Trapèze | A = (B + b) × h / 2 | Parcelle bordée d'un chemin courbe |
On divise par 100 (pas 10 !) entre 2 unités voisines : 1 m² = 100 dm² = 10000Réponse : 10000 cm². 1 hectare = 10 000 m². 1 are = 100 m².
Parcelle 80 m × 50 m. Aire = 4000Réponse : 4000 m² = 40 ares = 0,4 ha.
02Volumes des solides usuels
| Solide | Formule du volume | Exemple |
|---|---|---|
| Cube | V = c³ | Cube de paille 80 cm |
| Pavé droit | V = L × l × h | Silo rectangulaire |
| Cylindre | V = π × r² × hRéponse : V = π × r² × h | Cuve à eau ronde |
| Cône | V = π × r² × h / 3 | Tas de sable |
| Pyramide | V = (B × h) / 3 | Toit pyramidal |
| Sphère | V = (4/3) × π × r³ | Citerne sphérique |
On divise par 1 000 entre 2 unités voisines : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³. Lien crucial : 1 dm³ = 1Réponse : 1 L. Donc 1 m³ = 1 000 L.
Cuve cylindrique r = 0,5 m, h = 2 m. V = π × 0,25 × 2 ≈ 1,57Réponse : 1,57 m³ = 1 570 L.
Déplace les sommets et observe comment l'aire varie. Approche-toi des aires usuelles.
Choisis la catégorie (longueur, surface, volume, masse, vitesse, énergie) puis convertis. Utile pour vérifier les conversions de m² → ha ou m³ → L.
03Applications agricoles
| Situation | Grandeur | Formule |
|---|---|---|
| Engrais à épandre | Aire parcelle | Rectangle, trapèze… |
| Remplir cuve | Volume L | πr²h |
| Arrosage goutte-à-goutte | Surface circulaire | πr² |
| Cubage tas paille | Volume | L × l × h ou πr²h/3 |
| Peinture abri | Surface à peindre | Somme aires faces |
Pour surfaces irrégulières : on découpe en figures usuelles puis on additionne. C'est la méthode du découpage utilisée en arpentage paysager.
Exercices
Exercice 1— Aire d'une parcelleOuvrir
Parcelle 75 m × 40 m. (a) Aire en m². (b) Conversion en ares et hectares.
✓ Correction
(a) 75 × 40 = 3 000 m². (b) 30 ares = 0,3 ha.
Exercice 2— Cuve cylindrique d'arrosageOuvrir
Cuve cylindrique diamètre 1,5 m, hauteur 1,2 m. (a) Volume m³. (b) Conversion L. (c) Surface arrosable si 5 L/m².
💡 Indice
V = π × r² × h, r = diamètre/2 = 0,75 m. π ≈ 3,14.
✓ Correction
(a) V = π × 0,75² × 1,2 ≈ 2,12 m³. (b) 2 120 L. (c) 2 120 / 5 = 424 m² arrosables.
Exercice 3— Tas de paille conique (problème ouvert)Ouvrir
Tas conique r = 4 m, h = 3 m. (a) Volume. (b) Masse si 1 m³ pèse 80 kg. (c) Prix si 35 €/tonne.
💡 Indice
V cône = π × r² × h / 3.
✓ Correction
(a) V = π × 16 ≈ 50,3 m³. (b) 50,3 × 80 = ≈ 4 024 kg ≈ 4 t. (c) 4 × 35 = ≈ 141 €.