3ᵉ EA•EG3 — Mathématiques•Chapitre 4

Statistiques à une variable

Organiser une série statistique, calculer des indicateurs de position et de dispersion, représenter une distribution. Préparer le DNB Pro Agricole.

Durée

4 séances de 55 min

Objectifs

6 compétences visées

Référentiel

EG3 — Mathématiques — 3ᵉ EA

Compétences visées

→Distinguer caractère qualitatif / quantitatif (discret ou continu)
→Calculer effectifs, fréquences, fréquences cumulées
→Calculer une moyenne, une médiane, déterminer le mode
→Calculer l'étendue d'une série
→Représenter une série par un diagramme adapté (bâtons, circulaire, histogramme)
→Comparer deux séries à l'aide d'indicateurs

01Vocabulaire d'une étude statistique

Définition

Population, individu, caractère.L'ensemble des éléments étudiés s'appelle la populationensemble étudié. Réponse : population. Chaque élément est un individuRéponse : individu. Ce qu'on observe sur chaque individu est le caractèrece qu'on mesure. Réponse : caractère.

Propriété — Effectif et fréquence

L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui la possèdent. La fréquence est le rapport $f = \frac{effectif}{total}$ , souvent exprimé en pourcentageRéponse : pourcentage. La somme de toutes les fréquences vaut 1ou 100 %. Réponse : 1.

Exemple

On a relevé le nombre d'œufs pondus par 50 poules en une semaine. La population : les 50 poulesRéponse : 50 poules. Le caractère : le nombre d'œufs (caractère quantitatifRéponse : quantitatif discret).

02Indicateurs de position

Définition

Moyenne.La moyenne d'une série est la somme des valeurs divisée par l'effectif totalRéponse : effectif total. Pour une série pondérée : $\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum n _{i} \cdot x _{i}}{N}$ .

Définition

Médiane.La médiane partage la série ordonnéeRéponse : ordonnée en deux groupes de même effectifRéponse : même effectif. Au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Méthode — Calculer la médiane d'une série

1Ranger les valeurs par ordre croissantRéponse : croissant.
2Si N est impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ .
3Si N est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ .

03Étendue et diagrammes

Définition

Étendue.L'étendue d'une série est la différence entre la plus grande et la plus petiteRéponse : petite valeur. Elle mesure la dispersionécart entre valeurs. Réponse : dispersion globale.

Caractère	Représentation conseillée
Qualitatif	diagramme circulaireRéponse : diagramme circulaire ou en bâtons
Quantitatif discret	diagramme en bâtonsRéponse : diagramme en bâtons
Quantitatif continu (classes)	histogrammeRéponse : histogramme

Outil — Calculer les indicateurs et tracer la boîte à moustaches

Saisis ta propre série de données ou utilise un jeu de présets. Les indicateurs (moyenne, médiane, quartiles, étendue) sont calculés en direct et la boîte à moustaches se met à jour.

⚙ TP interactif Outil — Calculer les indicateurs et tracer la boîte à moustaches — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

QCM

Quel indicateur n'est pas modifié si on remplace la plus grande valeur d'une série par une valeur encore plus grande ?

Exercices

Exercice 1— Production laitière

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Le tableau donne la production laitière (en L/jour) de 8 vaches : 18 ; 22 ; 25 ; 19 ; 28 ; 24 ; 21 ; 23. Calculer la moyenne, la médiane et l'étendue.

💡 Indice

Penser à ranger la série pour la médiane (effectif pair).

✓ Correction

Somme = 180 ; moyenne = 180 ÷ 8 = 22,5 L/jour. Série rangée : 18 ; 19 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 28. Médiane = (22 + 23) ÷ 2 = 22,5 L. Étendue = 28 − 18 = 10 L.

Exercice 2— Notes de la classe

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Les notes (sur 20) d'un contrôle dans une classe de 25 élèves sont distribuées ainsi :

Note	8	10	11	12	14	15	17
Effectif	2	4	5	6	4	3	1

Calculer la moyenne de la classe et déterminer la médiane.

✓ Correction

Moyenne = (2·8 + 4·10 + 5·11 + 6·12 + 4·14 + 3·15 + 1·17) ÷ 25 = 301 ÷ 25 = 12,04. La 13ᵉ valeur d'une série rangée à 25 termes correspond à la médiane : on cumule les effectifs (2, 6, 11, 17…) ; la 13ᵉ valeur tombe dans la classe 12 → médiane = 12.

Exercice 3— Comparer deux variétés (DNB type)

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Deux variétés de tomates A et B sont comparées sur 12 pieds. Hauteurs (cm) :

A : 62 ; 65 ; 70 ; 70 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 78 ; 80 ; 85
B : 55 ; 60 ; 65 ; 68 ; 70 ; 72 ; 73 ; 75 ; 78 ; 82 ; 85 ; 95

1) Calculer la moyenne et l'étendue de chaque variété. 2) Quelle variété est la plus régulière ? Justifier.

💡 Indice

Une variété plus régulière a une étendue plus petite (et un écart-type plus petit) : la dispersion est moindre.

✓ Correction

1) Moyenne A = 73,3 cm, étendue A = 23. Moyenne B = 73,2 cm, étendue B = 40. 2) La variété A est plus régulière : moyennes presque identiques mais étendue de A nettement plus faible (23 < 40). La dispersion des hauteurs autour de la moyenne est donc plus faible.