3ᵉ EA•EG3 — Mathématiques•Chapitre 2

Théorème de Pythagore et trigonométrie

Énoncer et appliquer le théorème de Pythagore (direct et réciproque). Premières notions de trigonométrie (cosinus, sinus, tangente) dans un triangle rectangle. Mobiliser en contexte de chantier : corde 3-4-5, calcul d'une hauteur, vérification d'un angle droit.

Durée

9 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

EG3 — Mathématiques — 3ᵉ EA

Compétences visées

→Énoncer le théorème de Pythagore
→Calculer l'hypoténuse ou un côté de l'angle droit
→Utiliser la réciproque pour prouver un angle droit
→Définir cos, sin, tan dans un triangle rectangle
→Calculer une longueur ou un angle

01Théorème de Pythagore

Propriété — Énoncé

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuseRéponse : hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ (a = hypoténuse).

Méthode — Calculer un côté

1Repérer l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit).
2Écrire l'égalité de Pythagore.
3Isoler le côté cherché, puis prendre la racine carrée.

Exemple

Triangle 3-4-5 : 5² = 25 ; 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ✓. La corde 3-4-5 sert à tracer un angle droitRéponse : droit sur un chantier.

Propriété — Réciproque

Si a² = b² + c², alors le triangle est rectangleangle droit opposé à a. Réponse : rectangle. Utile pour vérifier une équerre ou un tracé.

Simulation — Triangle rectangle interactif

Modifie les côtés a et b avec les sliders. Vérifie a² + b² = c² ; les carrés colorés représentent les aires.

⚙ TP interactif Simulation — Triangle rectangle interactif — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

Saisie libre

Triangle rectangle d'hypoténuse 13 cm, un côté 5 cm. Autre côté (cm) ?

02Trigonométrie du triangle rectangle

Définition

Cosinus, sinus, tangente.Pour un angle aigu α : $cos α = \frac{adj.}{hyp.}$ , $sin α = \frac{opp.}{hyp.}$ , $tan α = \frac{opp.}{adj.}$ .

Mnémotechnique « SOHCAHTOA » : Sin = Opp/Hyp, Cos = Adj/Hyp, Tan = Opp/Adj.

Exemple

Angle α, côté opposé 3, hypoténuse 6 : sin α = 3/6 = 0,5 → α = 30degrés. Réponse : 30°.

Exercices

Exercice 1— Appliquer Pythagore

Ouvrir

Triangle rectangle, côtés de l'angle droit 6 cm et 8 cm. Calculer l'hypoténuse.

✓ Correction

a² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → a = 10 cm.

Exercice 2— Hauteur d'un arbre

Ouvrir

À 12 m du pied d'un arbre, l'angle d'élévation du sommet est 35°. Œil à 1,60 m du sol. Calculer la hauteur de l'arbre.

✓ Correction

tan(35°) = h/12 → h = 12 × tan(35°) ≈ 8,4 m. Hauteur totale ≈ 8,4 + 1,6 = 10 m.

Exercice 3— Vérifier une équerre de chantier (problème ouvert)

Ouvrir

Pour vérifier qu'un coin de terrasse est bien à angle droit, un maçon mesure : 60 cm sur un bord, 80 cm sur l'autre, et 1,00 m en diagonale. (a) Le coin est-il à angle droit ? Justifier par la réciproque. (b) S'il mesurait 1,05 m en diagonale, que conclure ? (c) Proposer une autre longueur de diagonale qui prouverait l'angle droit pour des bords de 30 cm et 40 cm.

✓ Correction

(a) 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000 = 100² → réciproque : angle droit ✓.

(b) 1,05 m → 105² = 11025 ≠ 10000 : le coin n'est pas à angle droit, il faut corriger. (c) Bords 30/40 → diagonale √(30²+40²) = √2500 = 50 cm (triangle 3-4-5 ×10).