3ᵉ EA•EG3 — Mathématiques•Chapitre 5

Probabilités — premières notions

Vocabulaire des expériences aléatoires (univers, événement). Calcul d'une probabilité dans un univers fini équiprobable. Première approche fréquentielle par simulation.

Durée

3 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

EG3 — Mathématiques — 3ᵉ EA

Compétences visées

→Décrire une expérience aléatoire : univers, issues
→Calculer P(A) dans un univers fini équiprobable
→Distinguer fréquence (observée) et probabilité (théorique)
→Énoncer la loi des grands nombres
→Calculer P(Ā) = 1 − P(A)

01Expérience aléatoire et événements

Définition

Expérience aléatoire.Une expérience est dite aléatoireRéponse : aléatoire si l'on ne peut pas prévoir son résultat avec certitude. L'ensemble des résultats possibles est l'universnoté Ω. Réponse : univers (oméga).

Exemple

Lancer une pièce : Ω = {pile ; faceRéponse : pile ; face}. Lancer un dé à 6 faces : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

Définition

Événement.Un événement est un sous-ensemble de l'univers. L'événement « obtenir un nombre pair » sur un dé est {2 ; 4 ; 6}Réponse : {2 ; 4 ; 6}.

02Calcul de probabilité (univers fini équiprobable)

Propriété — Formule

Quand toutes les issues sont également probables : $P (A) = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre d’issues possibles}$ .

Exemple

Dans un sac : 3 boules rouges, 5 vertes, 2 bleues. P(rouge) = 3/10Réponse : 3/10 = 0,3 = 30 %.

Propriété — Probabilité de l'événement contraire

Pour tout événement A : $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ . Et $0 \leq P (A) \leq 1$ .

03Fréquence et loi des grands nombres

Définition

Fréquence.Quand on répète une expérience N fois, la fréquence d'un événement A est $f = \frac{nombre de r e ˊ alisations de A}{N}$ .

Propriété — Loi des grands nombres

Lorsque N devient grand, la fréquence se stabilise autour de la probabilité théoriqueRéponse : théorique.

Simulation — Loi des grands nombres

Lance 100, 500, 1 000 fois un dé. Observe comment la fréquence se rapproche de 1/6 ≈ 16,7 % quand le nombre de lancers augmente.

⚙ TP interactif Simulation — Loi des grands nombres — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

QCM

On lance 500 fois une pièce et on obtient 273 piles. La fréquence est-elle compatible avec une pièce équilibrée ?

Exercices

Exercice 1— Sachet de bonbons

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Un sachet contient 8 bonbons à la fraise, 5 au citron et 7 à la menthe. On en prend un au hasard. 1) Probabilité d'avoir un bonbon au citron ? 2) Probabilité de ne pas avoir un bonbon à la menthe ?

✓ Correction

Total = 20. 1) P(citron) = 5/20 = 1/4 = 0,25. 2) P(non menthe) = 1 − P(menthe) = 1 − 7/20 = 13/20 = 0,65.

Exercice 2— Tirage d'une carte

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Un jeu de 32 cartes (4 couleurs : ♠ ♥ ♦ ♣ ; 8 cartes par couleur : 7, 8, 9, 10, V, D, R, As). On tire une carte au hasard. 1) P(c'est un cœur) ? 2) P(c'est une figure : V, D ou R) ? 3) P(c'est le valet de pique) ?

✓ Correction

1) 8/32 = 1/4. 2) 4 couleurs × 3 figures = 12 cartes → 12/32 = 3/8. 3) 1 seule carte → 1/32.