3ᵉ EA•EG3 — Mathématiques•Chapitre 6

Géométrie dans l'espace : solides et volumes

Reconnaître les solides usuels, calculer leurs volumes, exploiter une section plane simple, convertir les unités de volume. Mobiliser sur le cubage d'un silo, le volume d'une cuve, la capacité d'un bâtiment.

Durée

6 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

EG3 — Mathématiques — 3ᵉ EA — préparation DNB Pro Agricole

Compétences visées

→Reconnaître pavé, cylindre, prisme, cône, pyramide, sphère
→Calculer le volume d'un solide usuel
→Convertir m³ ↔ L ↔ cm³
→Exploiter une section plane simple
→Résoudre un problème de cubage agricole

01Solides et volumes

Solide	Volume
Pavé droit	L × l × h
Cylindre	π × r² × hRéponse : π × r² × h
Prisme droit	aire de base × hauteur
Cône	(π × r² × h) / 3
Pyramide	(aire base × h) / 3
Sphère	(4/3) × π × r³

Propriété — Conversions de volume

÷1000 entre unités voisines : 1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³. Et 1 dm³ = 1Réponse : 1 L donc 1 m³ = 1000 L.

Exemple

Cuve cylindrique r = 1 m, h = 2 m : V = π × 1² × 2 ≈ 6,28Réponse : 6,28 m³ ≈ 6 280 L.

Saisie libre

Volume d'un pavé 2 m × 1,5 m × 3 m (en m³) ?

m³

02Sections planes

Définition

Section plane.Couper un solide par un plan révèle une figure plane. La section d'un cylindre par un plan parallèle à la base est un disquemême rayon que la base. Réponse : disque ; celle d'un pavé est un rectangle.

Solide coupé	Plan	Section obtenue
Cylindre	parallèle à la base	disque
Pavé	parallèle à une face	rectangleRéponse : rectangle
Sphère	quelconque	disque (cercle)

Comprendre les sections aide à lire un plan en coupe (bâtiment, fosse, silo) couramment utilisé en agriculture.

03Applications : cubage agricole

Exemple

Silo cylindrique r = 1,5 m, h = 4 m. V = π × 1,5² × 4 ≈ 28,3Réponse : 28,3 m³. Si 1 m³ de grain = 750 kg, masse ≈ 21 t.

QCM

Une fosse parallélépipédique 4 m × 3 m × 2 m. Sa capacité est :

Exercices

Exercice 1— Volumes simples

Ouvrir

(a) Cube de 2 m. (b) Pavé 5×2×1 m. (c) Cylindre r = 0,5 m, h = 4 m (π ≈ 3,14).

✓ Correction

(a) 8 m³ ; (b) 10 m³ ; (c) ≈ 3,14 m³.

Exercice 2— Conversions

Ouvrir

Convertir : (a) 2,5 m³ en L ; (b) 750 L en m³ ; (c) 0,2 m³ en cm³.

✓ Correction

(a) 2 500 L ; (b) 0,75 m³ ; (c) 200 000 cm³.

Exercice 3— Capacité d'une citerne (problème ouvert)

Ouvrir

Une citerne d'eau cylindrique a un diamètre de 2 m et une hauteur de 3 m. (a) Calculer son volume en m³ puis en L. (b) On la remplit avec une pompe de 500 L/min : durée de remplissage ? (c) Si on n'en utilise que les 3/4, combien de litres disponibles ?

✓ Correction

(a) r = 1 m ; V = π × 1² × 3 ≈ 9,42 m³ ≈ 9 420 L. (b) 9 420 / 500 ≈ 18,8 min. (c) 3/4 × 9 420 ≈ 7 065 L disponibles.