3ᵉ EA•EG3 — Mathématiques•Chapitre 3

Fonctions linéaires et fonctions affines

Reconnaître une fonction linéaire et une fonction affine, calculer une image, tracer une droite. Mobiliser ces outils dans des situations issues du domaine professionnel.

Durée

3 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

EG3 — Mathématiques — 3ᵉ EA

Compétences visées

→Définir une fonction linéaire f(x) = a x et reconnaître a comme coefficient
→Définir une fonction affine f(x) = a x + b et nommer a et b
→Calculer l'image d'un nombre
→Tracer la représentation graphique d'une fonction affine
→Lire graphiquement l'image et l'antécédent

01Fonctions linéaires : la proportionnalité revisitée

Définition

Fonction linéaire.Une fonction f est linéaireRéponse : linéaire s'il existe un nombre a tel que pour tout x : $f (x) = a \times x$ . Le nombre a s'appelle le coefficientdirecteur. Réponse : coefficient de la fonction.

Propriété — Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droitepassant par O. Réponse : droite passant par l'origine du repère.

Exemple

Le prix payé pour x kg de pommes à 2,50 €/kg est f(x) = 2,5 × x. C'est une fonction linéaire de coefficient 2,5Réponse : 2,5. Pour x = 4 kg, on paie f(4) = 102,5 × 4. Réponse : 10 €.

02Fonctions affines

Définition

Fonction affine.Une fonction f est affine s'il existe deux nombres a et b tels que pour tout x : $f (x) = a x + b$ . Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine avec b = 0Réponse : 0.

Propriété — Lecture graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droiteRéponse : droite. Le coefficient a est la pente, b est l'ordonnée à l'origineimage de 0. Réponse : ordonnée à l'origine : c'est le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

Plotter — Fais varier a et b et observe la droite

Manipule les deux curseurs. Identifie ce qui change quand a augmente / diminue, devient négatif. Identifie le rôle de b.

⚙ TP interactif Plotter — Fais varier a et b et observe la droite — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

03Calcul d'image

Méthode — Calculer f(x) pour une valeur donnée

1Remplacer x par sa valeur dans l'expression.
2Effectuer le calcul en respectant les priorités.
3Conclure : l'image de [valeur] par f est [résultat].

Exemple

Pour f(x) = 3x − 5, on a f(2) = 3 × 2 − 5 = 16 − 5. Réponse : 1. L'image de 2 est 1.

Saisie libre

Soit g(x) = −2x + 7. Calcule g(4).

QCM

La représentation graphique de f(x) = 0,5x est :

Exercices

Exercice 1— Engrais à l'hectare

Ouvrir

Une exploitation utilise 180 kg d'engrais par hectare. Soit f la fonction qui, à la surface en hectares, associe la masse d'engrais nécessaire en kg. 1) Donner l'expression de f. 2) Calculer f(2,5). 3) Quelle surface peut-on traiter avec 540 kg ?

✓ Correction

1) f(x) = 180x (linéaire). 2) f(2,5) = 180 × 2,5 = 450 kg. 3) 180 x = 540 ⇒ x = 3 ha.

Exercice 2— Forfait téléphone

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Un opérateur facture 5 € d'abonnement + 0,15 €/minute. Soit g la fonction qui, à la durée en minutes, associe le montant facturé. 1) g est-elle linéaire ? affine ? Donner son expression. 2) Calculer g(60). 3) Pour 17 €, combien de minutes de communication ?

✓ Correction

1) g(x) = 0,15 x + 5 → affine (pas linéaire car b ≠ 0). 2) g(60) = 9 + 5 = 14 €. 3) 0,15 x + 5 = 17 ⇒ x = 12 / 0,15 = 80 min.

Exercice 3— Lecture graphique inverse (DNB type)

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Une droite passe par les points A(0 ; 4) et B(3 ; −2). 1) Cette droite représente-t-elle une fonction linéaire ou affine ? 2) Déterminer son expression f(x) = ax + b. 3) Calculer f(5) et l'antécédent de 0.

💡 Indice

b = ordonnée à l'origine = image de 0. Pour a, calcule la pente entre A et B.

✓ Correction

1) Affine (b = 4 ≠ 0). 2) a = (−2 − 4) / (3 − 0) = −6/3 = −2 ; b = 4 ; donc f(x) = −2x + 4. 3) f(5) = −10 + 4 = −6. Antécédent de 0 : −2x + 4 = 0 ⇒ x = 2.