Fonctions affines — introduction
Reconnaître et représenter une fonction affine f(x) = ax + b. Interpréter a (taux/coefficient directeur) et b (valeur initiale). Calculer image et antécédent. Mobiliser sur un tarif de service à la personne (forfait + tarif horaire).
- →Reconnaître une fonction affine / linéaire
- →Représenter graphiquement f(x) = ax + b
- →Interpréter a et b
- →Calculer une image et un antécédent
- →Mobiliser sur une situation tarifaire
01Définition et représentation
Fonction affine.Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. a est le coefficient directeurpente. Réponse : coefficient directeur, b l'ordonnée à l'origine. Si b = 0, la fonction est linéaire (proportionnalité).
La courbe d'une fonction affine est une droiteRéponse : droite. a indique l'inclinaison (a > 0 monte, a < 0 descend), b le point où elle coupe l'axe des ordonnées.
Déplace les curseurs a et b et observe l'effet sur la droite : pente et position.
f(x) = 2x + 3 : droite de pente 2Réponse : 2 coupant l'axe des y en 3.
02Image et antécédent
Image et antécédent.L'image de x est f(x) (on calcule). Un antécédent de y est un x tel que f(x) = y (on résoutune équation. Réponse : résout une équation).
- 1Image de x : remplacer x par sa valeur dans f(x) = ax + b.
- 2Antécédent de y : résoudre ax + b = y.
f(x) = 3x − 1. Image de 4 : f(4) = 11. Antécédent de 8 : 3x − 1 = 8 → x = 3Réponse : 3.
03Application : tarif d'un service à la personne
Coût(h) = (tarif horaire) × h + (forfait fixe). C'est une fonction affineRéponse : affine où a = tarif horaire, b = forfait.
| Heures h | Coût C(h) = 22h + 18 |
|---|---|
| 1 | 40 € |
| 2 | 6222×2+18. Réponse : 62 € |
| 4 | 106 € |
| 8 | 194 € |
Lire un tarif comme une fonction affine permet d'anticiper un coût ou de retrouver une durée à partir d'une facture.
Exercices
Exercice 1— ImageOuvrir
f(x) = 4x − 5. Calculer f(0), f(2), f(−1).
✓ Correction
f(0) = −5 ; f(2) = 3 ; f(−1) = −9.
Exercice 2— AntécédentOuvrir
f(x) = 3x + 6. (a) Image de 5 ? (b) Antécédent de 0 ? (c) La droite est-elle croissante ?
✓ Correction
(a) 21 ; (b) 3x + 6 = 0 → x = −2 ; (c) a = 3 > 0 → croissante.
Exercice 3— Comparer deux prestataires (problème ouvert)Ouvrir
Prestataire A : C(h) = 20h + 30. Prestataire B : C(h) = 25h + 10. (a) Coût de 3 h chez chacun. (b) Pour combien d'heures les deux coûtent-ils pareil ? (c) Au-delà, lequel est plus avantageux ?
✓ Correction
(a) A : 90 € ; B : 85 €. (b) 20h + 30 = 25h + 10 → 20 = 5h → h = 4 (coût 110 €). (c) Au-delà de 4 h, A (pente 20 < 25) devient le moins cher.