Probabilités : approche fréquentielle
Modéliser une expérience aléatoire, distinguer fréquence et probabilité, observer la loi des grands nombres par simulation. Premières règles de calcul.
- →Décrire une expérience aléatoire : issues, événement
- →Calculer une fréquence et la comparer à une probabilité (situation d'équiprobabilité)
- →Énoncer la loi des grands nombres
- →Calculer la probabilité d'un événement dans un univers fini équiprobable
- →Calculer la probabilité de l'événement contraire et d'une réunion
01Vocabulaire des expériences aléatoires
Expérience aléatoire.Une expérience est dite aléatoireRéponse : aléatoire quand on ne peut pas prévoir son résultat avec certitude. L'ensemble des résultats possibles s'appelle l'universsouvent noté Ω. Réponse : univers.
Lancer un dé cubique à 6 faces : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6Réponse : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Événement.Un événement est un sous-ensemble de l'univers. On dit qu'il est réaliséRéponse : réalisé quand l'issue obtenue lui appartient. L'événement contraire de A, noté , est constitué des issues qui n'appartiennent pasRéponse : n'appartiennent pas à A.
02Fréquence et probabilité
Lorsqu'on répète un grand nombre N de fois la même expérience aléatoire, la fréquence d'un événement A se stabilisetend vers une limite. Réponse : stabilise autour d'une valeur appelée la probabilitéRéponse : probabilité de A, notée .
Simule des lancers de pièce ou de dé. Observe la fréquence de chaque face : pour quelques lancers elle s'écarte beaucoup de la probabilité théorique ; après plusieurs centaines de lancers, elle s'en approche.
03Calcul d'une probabilité (univers fini équiprobable)
Si toutes les issues sont également probables, alors pour un événement A : — c'est-à-dire le nombre d'issues favorablesRéponse : favorables divisé par le nombre d'issues possiblesRéponse : possibles.
Lancer un dé équilibré. P(« obtenir un nombre pair ») = 3/6card{2;4;6}. Réponse : 3/6 = 1/2Réponse : 1/2.
Pour tout événement A : . P(Ω) = 1Réponse : 1, P(∅) = 0Réponse : 0, et .
Exercices
Exercice 1— Tirage d'une bouleOuvrir
Une urne contient 4 boules rouges, 3 vertes et 5 bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir : a) une boule verte ; b) une boule non rouge.
✓ Correction
Il y a 12 boules. a) P(verte) = 3/12 = 1/4. b) P(non rouge) = 1 − P(rouge) = 1 − 4/12 = 2/3.
Exercice 2— Issue d'un dé truqué (interprétation fréquentielle)Ouvrir
On lance 1 000 fois un dé suspect. La face « 6 » sort 250 fois. Le dé est-il équilibré ? Justifier.
💡 Indice
Comparer la fréquence observée à la probabilité théorique 1/6 ≈ 0,167.
✓ Correction
Fréquence observée = 250 / 1 000 = 0,25, soit 25 %. Or pour un dé équilibré, P(6) = 1/6 ≈ 0,167. L'écart (~ 8 points) sur 1 000 lancers est très significatif : on peut suspecter un dé truqué (face 6 favorisée).
Exercice 3— Deux dés et sommeOuvrir
On lance deux dés équilibrés et on note la somme des points. 1) Quel est l'univers ? Quel cardinal ? 2) Calculer P(somme = 7), P(somme = 12), P(somme ≥ 10).
💡 Indice
Représenter l'univers par un tableau à double entrée 6 × 6. Compter les couples favorables.
✓ Correction
1) Ω = couples (i ; j) avec i, j ∈ {1, …, 6} → card = 36. 2) Somme = 7 : {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} = 6 cas → P = 6/36 = 1/6. Somme = 12 : seul (6,6) → 1/36. Somme ≥ 10 : 10 (3 cas) + 11 (2 cas) + 12 (1 cas) = 6 cas → 1/6.