2nde NJPF•EG2 — Mathématiques et numérique•Chapitre 6

Géométrie : surfaces et volumes d'un chantier paysager

Calculer les surfaces de figures usuelles et de figures composées, estimer un volume de matériau (terre végétale, paillage, sable). Mobiliser le théorème de Pythagore et celui de Thalès dans un contexte de chantier d'aménagement. Module EG2 — 2nde Pro NJPF, en appui à la future capacité C1.3 du Bac Pro AP.

Durée

4 séances de 55 min + 1 TP

Objectifs

6 compétences visées

Référentiel

EG2 — Mathématiques et numérique — 2nde Pro NJPF

Compétences visées

→Calculer la surface de figures composées (rectangles, triangles, disques, trapèzes)
→Convertir entre m² et hectares ; entre m³ et litres
→Estimer le volume d'un apport de matériau à partir d'une surface et d'une épaisseur
→Utiliser le théorème de Pythagore pour vérifier une équerre sur le terrain
→Utiliser le théorème de Thalès pour calculer une longueur inaccessible
→Lire et exploiter un plan à l'échelle

01Aires des figures usuelles

Figure	Aire	Unité
Rectangle	$L \times ℓ$	m²
Triangle	(b × h) / 2demi-base × hauteur. Réponse : (b × h) / 2	m²
Trapèze	$\frac{( B + b ) \times h}{2}$	m²
Disque (rayon r)	π × r²Réponse : π × r²	m²
Cercle — périmètre	$2 π r$	m

Propriété — Conversions utiles

1 ha = 10 00010² × 10². Réponse : 10 000 m². 1 m³ = 1 000Réponse : 1 000 L. Pour un apport de paillage : volume (m³) = surface (m²) × épaisseur (m).

Exemple

Pour un massif rectangulaire de 12 m × 4 m, on apporte 5 cm de terreau. Volume = 12 × 4 × 0,05 = 2,4L × ℓ × ép.. Réponse : 2,4 m³, soit 2 400Réponse : 2 400 L.

02Surfaces composées et terrains irréguliers

Méthode — Décomposer une surface complexe

1Découper la figure en figures simples (rectangles, triangles).
2Calculer l'aire de chaque pièce, en relevant soigneusement les dimensionsRéponse : dimensions sur le plan.
3Faire la somme (ou la différence pour les zones à soustraire).
4Vérifier l'ordre de grandeur du résultat.

TP — Calcul d'aire d'un terrain irrégulier

Déplace les sommets pour reproduire la forme du terrain à aménager. L'aire (en m²) et le périmètre (en m) sont calculés en temps réel selon l'échelle choisie. La méthode des « lacets » (formule de Gauss) est appliquée automatiquement.

⚙ TP interactif TP — Calcul d'aire d'un terrain irrégulier — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

03Outils sur le terrain : Pythagore et Thalès

Propriété — Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle d'hypoténuse [BC] : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . Une équerre 3-4-5 (3 m, 4 m, 5 m) sur un chantier permet de tracer un angle droità 90°. Réponse : droit sans rapporteur.

Exemple

Pour vérifier qu'un parterre est rectangulaire, on tend deux cordes de 3 m et 4 m perpendiculaires. La diagonale doit mesurer 5√(9+16). Réponse : 5 m exactement.

Propriété — Théorème de Thalès

Si deux droites parallèles coupent les côtés d'un triangle, les longueurs des segments sont proportionnellesRéponse : proportionnelles : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ . Application : mesurer la hauteur d'un arbre par alignement avec un piquet de hauteur connue.

Saisie libre

Un terrain rectangulaire mesure 18 m sur 12,5 m. Quelle est sa surface en m² ?

m²

QCM

Sur un plan à l'échelle 1/100, quelle longueur réelle représente un trait de 4,2 cm ?

Exercices

Exercice 1— Devis paillage

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Un client demande la fourniture et la pose de paillage minéral sur un massif circulaire de 6 m de diamètre, sur 7 cm d'épaisseur. Le sac de 50 L coûte 8,90 €. Combien de sacs commander et quel est le coût ?

💡 Indice

Aire = π × r² avec r = 3 m. Volume = aire × épaisseur. Convertir m³ → L.

✓ Correction

Aire = π × 3² ≈ 28,27 m². Volume = 28,27 × 0,07 ≈ 1,98 m³ = 1 980 L. Nombre de sacs = ⌈1 980 ÷ 50⌉ = 40 sacs. Coût = 40 × 8,90 = 356 €.

Exercice 2— Plan à l'échelle

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Sur un plan au 1/200, la longueur d'une terrasse mesure 4,5 cm et sa largeur 1,8 cm. Quelles sont ses dimensions réelles et son aire en m² ?

✓ Correction

Échelle 1/200 : 1 cm sur le plan = 200 cm = 2 m réel. Donc L = 9 m, ℓ = 3,6 m. Aire = 9 × 3,6 = 32,4 m².

Exercice 3— Hauteur d'un arbre par Thalès

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Pour estimer la hauteur d'un cèdre, on aligne son sommet avec celui d'un piquet de 1,80 m. L'œil de l'observateur est au sol, à 0,90 m du piquet et à 18 m du pied de l'arbre. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

💡 Indice

Faire un schéma. Les triangles formés par (œil, piquet) et (œil, sommet de l'arbre) sont semblables (Thalès).

✓ Correction

Par Thalès : H / 1,80 = 18 / 0,90, donc H = 1,80 × 20 = 36 m.