2nde NJPF•EG2 — Mathématiques et numérique•Chapitre 4

Fonctions affines et linéaires

Reconnaître, représenter et exploiter graphiquement et algébriquement les fonctions linéaires et affines. Mobiliser ces fonctions dans des situations professionnelles paysagères : devis, tarifs, évolution.

Durée

4 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

EG2 — Mathématiques — 2nde Pro NJPF

Compétences visées

→Reconnaître une fonction linéaire f(x) = a x et une fonction affine f(x) = a x + b
→Calculer image et antécédent
→Représenter graphiquement une fonction affine
→Déterminer une expression à partir de deux points donnés
→Résoudre graphiquement et algébriquement une équation f(x) = k

01Définitions et représentations

Définition

Fonction linéaire / fonction affine.Une fonction est linéaireRéponse : linéaire si elle s'écrit f(x) = a x. Elle est affineRéponse : affine si elle s'écrit f(x) = ax + b. Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine avec b = 0Réponse : 0.

Propriété — Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droiteRéponse : droite (non verticale). Pour une fonction linéaire, cette droite passe par l'origineRéponse : origine O(0 ; 0).

Plotter — Fais varier a et b et lis la droite obtenue

Manipule les curseurs et observe : que devient la droite quand a > 0 ? a < 0 ? a = 0 ? Que devient la droite quand b varie ? Repère son ordonnée à l'origine et sa racine.

⚙ TP interactif Plotter — Fais varier a et b et lis la droite obtenue — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

02Image, antécédent, sens de variation

Méthode — Calculer une image f(x)

1Remplacer x par sa valeur dans l'expression de f.
2Effectuer le calcul, conclure : « l'image de x par f est y ».

Méthode — Trouver l'antécédent d'un nombre k

1Résoudre l'équation f(x) = k, c'est-à-dire ax + b = k.
2Isoler x : $x = \frac{k - b}{a}$ .

Propriété — Sens de variation

Si a > 0 la fonction est croissanteRéponse : croissante. Si a < 0 elle est décroissanteRéponse : décroissante. Si a = 0 elle est constanteRéponse : constante.

Saisie libre

Soit f(x) = 3x + 1. Quel est l'antécédent de 13 ?

QCM

La droite d'équation y = −0,5x + 3 :

03Détermination de l'expression

Méthode — À partir de deux points

1On connaît deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) de la droite. Le coefficient directeur est $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
2Substituer dans f(x) = ax + b avec un des points pour trouver b.
3Vérifier avec l'autre point.

Exemple

Une droite passe par A(1 ; 5) et B(4 ; 11). a = (11 − 5)/(4 − 1) = 2Réponse : 2. Avec A : 5 = 2×1 + b ⇒ b = 3Réponse : 3. Donc f(x) = 2x + 3.

Exercices

Exercice 1— Devis simple

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Un paysagiste facture 60 € de déplacement + 30 €/h de main d'œuvre. Soit f(t) le coût total pour t heures. 1) Donner l'expression de f. 2) Calculer le coût pour 5 h. 3) Pour quelle durée le devis atteint-il 240 € ?

✓ Correction

1) f(t) = 30 t + 60. 2) f(5) = 210 €. 3) 30 t + 60 = 240 → t = 6 h.

Exercice 2— Comparer deux abonnements de jardin

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Une jardinerie propose deux formules pour un service à domicile. Formule A : 25 €/passage. Formule B : 80 € d'inscription + 15 €/passage. À partir de combien de passages la formule B devient-elle plus avantageuse ?

✓ Correction

A(n) = 25 n. B(n) = 15 n + 80. A(n) = B(n) ⇔ 25 n = 15 n + 80 ⇔ 10 n = 80 ⇔ n = 8. Au-delà de 8 passages, la formule B est plus avantageuse.

Exercice 3— Refroidissement d'un sol après arrosage

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On modélise par une fonction affine la température (en °C) d'un sol pendant les 2 minutes qui suivent un arrosage : à t = 0, T = 28 °C ; à t = 2 min, T = 22 °C. 1) Déterminer l'expression de T(t). 2) Au bout de combien de temps la température atteint-elle 19 °C, en supposant que le modèle reste valable ?

💡 Indice

a = ΔT / Δt. Vérifier que le modèle est physiquement raisonnable (refroidissement → pente négative).

✓ Correction

1) a = (22 − 28)/(2 − 0) = −3 °C/min ; b = 28. T(t) = −3t + 28. 2) −3t + 28 = 19 ⇒ t = 9/3 = 3 min.