1ʳᵉ Bac SAPAT•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 3

Probabilités : événements, arbres, application au sanitaire

Modéliser une expérience aléatoire et calculer la probabilité d'un événement. Représenter une expérience à deux étapes par un arbre pondéré. Mobiliser ces outils pour interpréter des données médicales et sociales. Module MG1 — capacité C1.3, savoir « modèles probabilistes ».

Durée

4 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Vocabulaire : univers, événement, événement contraire, événement intersection / réunion
→Calculer la probabilité d'un événement dans un univers fini équiprobable
→Calculer la probabilité de l'événement contraire et de la réunion
→Représenter une expérience à deux étapes par un arbre pondéré
→Calculer la probabilité d'un chemin par produit des branches

01Vocabulaire et premières règles

Définition

Événement contraire et réunion.L'événement contraire de A, noté $\overset{ˉ}{A}$ , est constitué des issues qui n'appartiennent pasRéponse : n'appartiennent pas à A. La probabilité $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ . Pour deux événements A et B incompatibles, $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Simulation — Loi des grands nombres

Lance un grand nombre de fois un dé ou une pièce. Compare la fréquence à la probabilité théorique. Vérifie que la fréquence se stabilise quand on augmente le nombre de lancers.

⚙ TP interactif Simulation — Loi des grands nombres — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

Exemple

Sur 200 admissions aux urgences, 80 patients sont reçus pour une affection respiratoire. La fréquence est 0,4080 ÷ 200. Réponse : 0,40 soit 40 %.

02Arbre pondéré (deux étapes)

Méthode — Construire un arbre

1Identifier les deux étapes successives de l'expérience.
2Tracer les branches : de la racine vers les issues de l'étape 1, puis vers celles de l'étape 2.
3Annoter chaque branche avec sa probabilitéRéponse : probabilité.
4Vérifier : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit valoir 1Réponse : 1.

Propriété — Probabilité d'un chemin

La probabilité d'un chemin (suite de branches) est le produitmultiplication. Réponse : produit des probabilités lues sur ses branches.

Exemple

Dans un test de dépistage : 30 % des patients sont positifs ; parmi eux, 95 % sont détectés (sensibilité). La probabilité « patient positif ET détecté » = 0,30 × 0,95 = 0,285produit des branches. Réponse : 0,285 soit environ 28,5 %.

03Application sanitaire

QCM

Dans une population, 12 % des personnes sont touchées par une affection. Sur 250 personnes, combien sont en moyenne concernées ?

Saisie libre

Une boîte contient 15 boîtes de paracétamol et 5 boîtes d'ibuprofène. On en prend une au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un paracétamol (en décimal arrondi au centième) ?

En santé publique, les probabilités sont au cœur des notions clés : sensibilité, spécificité, prévalence, valeurs prédictives. La maîtrise des arbres de probabilité aide à comprendre des messages de prévention.

Capacité visée — extrait du référentiel

L'étude des probabilités, commencée en seconde, nécessite une appropriation progressive. Il convient de l'aborder au travers de contexte (transmission des caractères héréditaires, sensibilité et spécificité de tests…) en première année et de la travailler dans la durée, sur les deux années du cycle. Calculer la probabilité : d'un événement par addition des probabilités d'événements élémentaires ; d'un événement contraire ; de la réunion, de l'intersection de deux événements. Probabilité conditionnée par un événement de probabilité non nulle. Représenter par un arbre de probabilités une expérience aléatoire à deux épreuves.

— Document d'accompagnement MG1 — Bac Pro tronc commun — Capacité C1.3 — Savoir « Modèles probabilistes »

Exercices

Exercice 1— Distribution de garde

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Une équipe de 8 aides-soignants prend les gardes par tirage au sort équiprobable. 3 sont des hommes, 5 sont des femmes. Quelle est la probabilité de tirer un homme ? une femme ?

✓ Correction

P(homme) = 3/8 = 0,375 ; P(femme) = 5/8 = 0,625. Vérification : 0,375 + 0,625 = 1.

Exercice 2— Test médical (deux étapes)

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Dans une population, 8 % des personnes sont atteintes d'une maladie. Le test utilisé donne un résultat positif chez 96 % des malades (sensibilité) et chez 4 % des non-malades (faux positifs). 1) Construire l'arbre pondéré. 2) Quelle est la probabilité « malade ET test positif » ? « non-malade ET test positif » ? 3) En déduire la probabilité d'avoir un test positif.

✓ Correction

1) Étape 1 : malade (0,08) / non-malade (0,92). Étape 2 : test positif sachant malade (0,96), test négatif sachant malade (0,04), test positif sachant non-malade (0,04), test négatif sachant non-malade (0,96). 2) P(malade ET +) = 0,08 × 0,96 = 0,0768. P(non-malade ET +) = 0,92 × 0,04 = 0,0368. 3) P(test +) = 0,0768 + 0,0368 = 0,1136 soit environ 11,4 %.

Exercice 3— Tirage successif

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Un sachet contient 4 bonbons rouges et 6 verts. On tire deux bonbons successivement, sans remise. 1) Construire l'arbre. 2) Calculer la probabilité d'avoir deux bonbons de la même couleur.

💡 Indice

Sans remise = la probabilité au 2ᵉ tirage dépend du 1ᵉʳ. Total des bonbons restants : 9.

✓ Correction

1) 1ᵉʳ tirage : R (4/10), V (6/10). 2ᵉ tirage si R : R (3/9), V (6/9). Si V : R (4/9), V (5/9). 2) P(RR) = 4/10 × 3/9 = 12/90 ; P(VV) = 6/10 × 5/9 = 30/90. P(même couleur) = 42/90 = 7/15 ≈ 0,467.