1ʳᵉ Bac SAPAT•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 4

Polynômes du second degré et fonction inverse

Reconnaître et exploiter une fonction polynôme du 2nd degré (forme développée et factorisée). Lire les éléments caractéristiques (signe de a, sommet, axe, racines). Découverte de la fonction inverse 1/x dans le calcul d'un coût moyen.

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Reconnaître une fonction polynôme du 2nd degré
→Lire les éléments caractéristiques sur la représentation graphique
→Factoriser quand une racine est connue
→Étudier le signe (table de signes)
→Découvrir la fonction inverse et son rôle dans le coût moyen

01Fonctions polynômes du 2nd degré

Définition

Polynôme du 2nd degré.Fonction de la forme $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec a ≠ 0. Sa représentation graphique est une paraboleRéponse : parabole.

Propriété — Sens de variation

Si a > 0, la parabole est tournée vers le hautU. Réponse : haut, elle admet un minimum. Si a < 0, vers le basRéponse : bas, elle admet un maximum. L'abscisse du sommet est $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ .

Exemple

f(x) = −2x² + 4x + 6. a = −2 < 0 → maximum. Sommet : x_S = −4/(−4) = 1Réponse : 1. f(1) = −2 + 4 + 6 = 8Réponse : 8 → maximum = 8 atteint en 1.

Méthode — Résoudre f(x) = 0 (forme factorisée connue)

1Si f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), alors les solutions sont x₁ et x₂.
2Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
3Note : le calcul du discriminant et des racines avec Δ n'est pas un attenduselon le référentiel. Réponse : pas un attendu du programme.

02Fonction inverse

Définition

Fonction inverse.f(x) = 1/x, définie sur ℝ* (x ≠ 0). La courbe est une hyperboleRéponse : hyperbole.

Propriété — Variations

f est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ (mais pas sur ℝ*). Quand x → 0⁺, f(x) → +∞. Quand x → +∞, f(x) → 0.

Exemple

Le coût moyen d'une intervention C(x) = a + b/x décroit lorsque x augmente : on bénéficie d'économies d'échelle.

QCM

La parabole d'équation y = (x − 3)(x + 5) coupe l'axe des abscisses en :

Saisie libre

f(x) = (x − 2)(x − 7). Quel est le minimum de f, atteint en x = ?

Exercices

Exercice 1— Surface d'un enclos rectangulaire

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Une jardinière rectangulaire est délimitée par 24 m de bordure. Soit x la largeur. 1) Exprimer la longueur en fonction de x. 2) Exprimer la surface S(x). 3) Pour quelle largeur la surface est-elle maximale ? Donner cette surface.

✓ Correction

1) L = 12 − x. 2) S(x) = x(12 − x) = 12x − x². 3) a = −1 < 0, x_S = −12/(−2) = 6. S(6) = 36 m².

Exercice 2— Coût moyen

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Le coût moyen par patient d'un service est C(x) = 20 + 600/x, où x est le nombre de patients par jour. 1) Calculer C(10), C(50). 2) Que se passe-t-il quand x augmente ?

✓ Correction

1) C(10) = 20 + 60 = 80 €. C(50) = 20 + 12 = 32 €. 2) C décroit : économies d'échelle.