1ʳᵉ Bac SAPAT•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 1

Fonctions affines : tarification, devis et évolutions

Approfondir l'étude des fonctions affines à travers les situations rencontrées dans les services à la personne : tarif d'une intervention, dégressivité, calcul d'un seuil de rentabilité, lecture comparative de deux contrats. Module MG1 — capacité C1.3 (modélisation continue).

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Modéliser une situation par une fonction affine
→Calculer image et antécédent ; résoudre f(x) = k
→Représenter graphiquement et lire les solutions d'une équation ou d'une inéquation
→Comparer deux fonctions affines pour déterminer un seuil
→Mobiliser ces fonctions dans un contexte sanitaire et social (tarifs CAF, dégressivité, contrats)

01Modélisation par une fonction affine

Définition

Fonction affine.Toute fonction de la forme $f (x) = a x + b$ est affine. Le coefficient aRéponse : a s'interprète comme un taux (€/h, €/visite, %/an…) et bRéponse : b comme un montant fixeindépendant de x. Réponse : fixe (forfait, abonnement…).

Plotter — Lecture interactive

Manipule les sliders pour reproduire la droite d'un tarif : a = prix horaire, b = forfait. Repère graphiquement le coût pour une durée donnée et inversement.

⚙ TP interactif Plotter — Lecture interactive — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

02Résoudre une équation ou inéquation affine

Méthode — Résoudre f(x) = k

1Écrire l'équation : $a x + b = k$ .
2Isoler x : $x = \frac{k - b}{a}$ .
3Vérifier la cohérence (positivité, ordre de grandeur).

Méthode — Résoudre f(x) ≥ k (inéquation)

1Procéder comme pour une équation, en gardant le sens de l'inégalité.
2Inverser le sens si on multiplie/divise par un nombre négatifRéponse : négatif.

Exemple

Une auxiliaire facture 18 €/h + 8 € de déplacement. Pour quelle durée la facture atteint-elle 80 € ? Résolution : 18 t + 8 = 80 ⇒ t = 4(80 − 8) / 18. Réponse : 4 h.

03Comparer deux contrats : seuil de bascule

Propriété — Intersection de deux droites

Deux fonctions affines f(x) = a x + b et g(x) = a' x + b' (avec $a \neq = a^{'}$ ) se croisent en un unique point dont l'abscisse vérifie $x_{0} = \frac{b ^{'} - b}{a - a ^{'}}$ . Au-delà de x₀, la fonction de plus faible coefficient devient moins coûteuseou plus avantageuse selon le contexte. Réponse : moins coûteuse.

Saisie libre

Une associative facture 20 € + 15 €/h. Une concurrente facture 5 €/h sans frais fixes mais ajoute 50 € à partir de la 1ère heure. À partir de quelle durée la première formule devient-elle plus avantageuse ?

QCM

Pour deux fonctions affines f et g de coefficients directeurs égaux mais d'ordonnées à l'origine différentes, leurs représentations graphiques sont :

Exercices

Exercice 1— Tarif horaire d'un service à domicile

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Une association facture 12 € de l'heure pour de l'aide à domicile, plus 5 € de déplacement. 1) Donner le tarif T(h) pour h heures de service. 2) Calculer T(3,5). 3) Une famille a payé 53 €. Quelle a été la durée d'intervention ?

✓ Correction

1) T(h) = 12 h + 5. 2) T(3,5) = 47 €. 3) 12 h + 5 = 53 ⇒ h = 4 h.

Exercice 2— Plafond CAF de l'aide à domicile

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Un dispositif d'aide prend en charge une partie de la facture mensuelle. Le reste à charge R (en €) en fonction des revenus mensuels x (en €) est modélisé sur la tranche 1 200 ≤ x ≤ 2 200 par : R(x) = 0,15 x − 60. 1) Calculer R(1 500) et R(2 000). 2) Pour quel revenu le reste à charge atteint-il 240 € ?

✓ Correction

1) R(1 500) = 165 € ; R(2 000) = 240 €. 2) 0,15 x − 60 = 240 ⇒ x = 2 000 €.

Exercice 3— Choix d'un contrat (résolution graphique)

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Deux contrats de portage de repas : A : 6 € par repas, sans frais fixes. B : 80 € d'abonnement mensuel + 2 € par repas. 1) Donner les expressions A(n) et B(n). 2) À partir de combien de repas par mois B devient-il plus économique ? 3) Représenter graphiquement les deux fonctions sur [0 ; 40] (à main ou avec le plotter du chapitre).

Dans la pratique, ce type d'analyse aide les familles et les bénéficiaires à choisir un contrat ; le travailleur social peut conduire la simulation devant l'usager.

💡 Indice

Égaliser A(n) et B(n) pour le seuil de bascule.

✓ Correction

1) A(n) = 6 n ; B(n) = 2 n + 80. 2) A(n) = B(n) ⇒ 4 n = 80 ⇒ n = 20. À partir de 20 repas/mois (au-delà), B est plus économique. 3) Deux droites : A passe par (0 ; 0) et (40 ; 240) ; B passe par (0 ; 80) et (40 ; 160). Intersection en (20 ; 120).