1ʳᵉ Bac AP•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 4

Probabilités : univers fini, événements, arbres

Calculer une probabilité dans un univers fini équiprobable. Construire un arbre pondéré à 2 ou 3 épreuves. Appliquer la formule des probabilités totales dans un contexte paysager.

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Calculer P(A) dans un univers fini équiprobable
→Calculer P(A ∪ B), P(A ∩ B), P(Ā)
→Construire un arbre pondéré à 2 ou 3 épreuves
→Appliquer la formule des probabilités totales
→Reconnaître l'indépendance de deux événements

01Vocabulaire et premières règles

Propriété — Règles fondamentales

Pour tout événement A : $0 \leq P (A) \leq 1$ , P(Ω) = 1, P(∅) = 0, P(Ā) = 1 − P(A)Réponse : 1 − P(A). Pour A et B incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Sinon : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Exemple

Sur 50 plants : 30 sont en pot (P), 25 sont des fruitiers (F), dont 10 sont à la fois en pot et fruitiers. P(P ∪ F) = 30/50 + 25/50 − 10/50 = 45/500,9. Réponse : 45/50 = 0,9.

02Arbres pondérés et probabilités totales

Méthode — Construire un arbre à 2 épreuves

1Identifier les 2 étapes successives de l'expérience.
2Tracer les branches : à chaque embranchement, la somme des probas vaut 1.
3La probabilité d'un chemin est le produit des branches.
4La probabilité d'un événement est la somme des chemins favorables (probabilités totales).

Simulation — loi des grands nombres

Vérifie expérimentalement que la fréquence d'une issue se rapproche de sa probabilité théorique lorsque le nombre de répétitions augmente.

⚙ TP interactif Simulation — loi des grands nombres — accessible sur la version projetée du cours (à manipuler en classe).

QCM

Dans un verger, 60 % des arbres sont des pommiers. Parmi les pommiers, 80 % donnent des fruits. Quelle est la probabilité « pommier ET donne des fruits » ?

Saisie libre

P(A) = 0,3 et P(B) = 0,4. A et B sont incompatibles. Calculer P(A ∪ B).

Exercices

Exercice 1— Reprise selon le sol

Ouvrir

Une plantation : 70 % des arbustes sont sur un sol drainé (D), 30 % sur un sol lourd (L). Taux de reprise sur D : 92 %. Taux de reprise sur L : 65 %. 1) Tracer l'arbre. 2) Probabilité « pris au hasard, l'arbuste a repris » ?

✓ Correction

P(R) = P(D)·P(R|D) + P(L)·P(R|L) = 0,7·0,92 + 0,3·0,65 = 0,644 + 0,195 = 0,839 soit ≈ 84 %.

Exercice 2— Origine d'une non-reprise

Ouvrir

Avec les données de l'exercice 1, un arbuste a échoué. Quelle est la probabilité qu'il était planté sur un sol lourd ?

💡 Indice

P(L | échec) = P(L ∩ échec) / P(échec) = P(L)·P(échec|L) / P(échec).

✓ Correction

P(échec) = 1 − 0,839 = 0,161. P(L ∩ échec) = 0,3·0,35 = 0,105. P(L | échec) = 0,105 / 0,161 ≈ 0,65. 65 % des échecs viennent du sol lourd, alors que ce sol ne couvre que 30 % de la plantation.