1ʳᵉ Bac AP•MG1 — Construction d'un raisonnement scientifique autour des questions du monde actuel•Chapitre 2

Polynômes du second degré (modèle continu)

Reconnaître et exploiter une fonction polynôme du 2nd degré dans un contexte d'aménagement paysager : optimisation d'une surface, modélisation d'un coût.

Durée

5 séances de 55 min

Objectifs

5 compétences visées

Référentiel

MG1 — Capacité C1.3 — Bac Pro tronc commun (2024)

Compétences visées

→Reconnaître une fonction polynôme du 2nd degré
→Lire les éléments caractéristiques : signe de a, sommet, racines, axe de symétrie
→Factoriser à partir d'une racine donnée
→Étudier le signe de f(x)
→Optimiser une surface ou un coût en contexte paysager

01Forme développée et caractéristiques

Définition

Polynôme du 2nd degré. $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec a ≠ 0. Courbe = paraboleRéponse : parabole d'axe vertical.

Propriété — Signe de a et nature de l'extremum

Si a > 0 : parabole « U » → minimumRéponse : minimum. Si a < 0 : parabole inversée → maximumRéponse : maximum. Abscisse du sommet : $x_{S} = - \frac{b}{2 a}$ .

02Forme factorisée et racines

Propriété — Forme factorisée

Si f admet deux racines x₁ et x₂ : f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Le signe de a et la position de x par rapport aux racines donnent le signede f(x). Réponse : signe de f(x).

Cas (a > 0)	f(x) = ax² + bx + c
Δ > 0 (2 racines)	négatif entre les racines, positif à l'extérieur
Δ = 0 (racine double)	positif partout sauf au sommet
Δ < 0 (pas de racine)	positif partout

Exemple

f(x) = (x − 1)(x − 4). Racines x = 1 et x = 4. Minimum atteint au milieu : x_S = 2,5Réponse : 2,5.

Saisie libre

Soit f(x) = −x² + 6x − 5. Trouver le maximum de f.

03Application : optimiser une aire

Méthode — Problème d'optimisation

1Identifier la variable (longueur, largeur, dosage…) et sa contrainte.
2Exprimer la quantité à optimiser comme f(x) du 2nd degré.
3Calculer x_S = −b/(2a).
4Calculer la valeur optimale f(x_S) et vérifier qu'elle a un sens.

QCM

Une parabole f(x) = ax² + bx + c avec a < 0 et c > 0 :

Exercices

Exercice 1— Allée maximale dans un terrain

Ouvrir

Un client a 80 m de bordure pour clore une zone de pelouse rectangulaire adossée à un mur (3 côtés à clore). 1) Si x est la profondeur, exprimer la longueur en fonction de x. 2) Exprimer la surface. 3) Trouver la surface maximale.

✓ Correction

1) 2x + L = 80 ⇒ L = 80 − 2x. 2) S(x) = x(80 − 2x) = 80x − 2x². 3) x_S = −80/(−4) = 20. S(20) = 1600 − 800 = 800 m² (dimensions 20 × 40 m).

Exercice 2— Coût d'un dosage

Ouvrir

Le coût (€) d'un mélange de terreau pour x kg d'apport d'engrais est C(x) = x² − 8x + 80 sur [0 ; 20]. Trouver le dosage qui minimise le coût.

✓ Correction

a = 1 > 0 → minimum. x_S = 8/2 = 4. C(4) = 16 − 32 + 80 = 64 € (dose optimale 4 kg).